“Simon! Integrasjon er areal under grafen av en funksjon vel?” – tydelig engasjert fremtidig matematiker

Ja– til en viss grad så er det sant. Det er best å se på integrasjon som en summering av små endringer ved hensyn til et forhold; kollektivet, altså summen kan således beskrive areal, dersom det er snakk om noe geometrisk, men den kan også beskrive den kinetisk energien til et fallende legeme.

Det er derfor ikke riktig å bare begrense idèen om integrasjon som “areal”.

I dette innlegget, så kommer vi til å se på et eksempel til noe de fleste vil kalle for “naturlig” eller “instinktivt”, men er uansett en interessant resonnement for noe vi kan kalle for “elementært” eller “barneskolematte”.

For en sirkel med origo som sentrum, slik at,

\[x^2 + y^2 = r^2\]

Ved lignende måte, så er ligningen av et kvadrat,

\[\lvert x \lvert + \lvert y \lvert = s\]

Ut fra den så kan vi løse for \(\lvert x \lvert\) og \(\lvert y \lvert\), slik at,

\[\begin{align} \lvert x \lvert &= s - \lvert y \lvert \\ \lvert y \lvert &= s - \lvert x \lvert \end{align}\]

Integralet av (1) og (2) ved hensyn til dets variabel er,

\[\begin{align} \int_{-s}^{s} (s - \lvert y \lvert) \, \mathrm{d} y \\ \int_{-s}^{s} (s - \lvert x \lvert) \, \mathrm{d} x \\ \end{align}\]

Husk at,

\[\begin{align} \int [f(x) + g(x)] \, \mathrm{d}x &= \int f(x) \, \mathrm{d}x + \int g(x) \, \mathrm{d}x \\ \int k \, \mathrm{d}x &= kx + C \\ \int \lvert x \lvert \, \mathrm{d}x &= \frac{x \lvert x \lvert}{2} \end{align}\]

Regner ut integralet av (1) og (2) ved hensyn til dets variariabel, slik at,

\[\begin{align*} \int_{-s}^{s} (s - \lvert y \lvert) \, \mathrm{d} y \\ \text{(5)} \\ &= \int_{-s}^{s} s \, \mathrm{d} y - \int_{-s}^{s} \lvert y \lvert \, \mathrm{d} y \\ \text{(6) og (7)} \\ &= \left[sy - \frac{y \lvert y \lvert}{2} \right]_{-s}^{s} \\ &= \left[\left(\frac{2s(s) - s \lvert s \lvert}{2}\right) - \left(\frac{2s(-s) -(-s) \lvert s \lvert}{2}\right)\right] \\ &= \frac{2s^2 - s^2}{2} + \frac{2s^2 - s^2}{2} \\ &= \frac{4s^2 - 2s^2}{2} \\ &= s^2 \\ \int_{-s}^{s} (s - \lvert x \lvert) \, \mathrm{d} x \\ \text{(5)} \\ &= \int_{-s}^{s} s \, \mathrm{d} x - \int_{-s}^{s} \lvert x \lvert \, \mathrm{d} x \\ \text{(6) og (7)} \\ &= \left[sx - \frac{x \lvert x \lvert}{2} \right]_{-s}^{s} \\ &= \left[\left(\frac{2s(s) - s \lvert s \lvert}{2}\right) - \left(\frac{2s(-s) -(-s) \lvert s \lvert}{2}\right)\right] \\ &= \frac{2s^2 - s^2}{2} + \frac{2s^2 - s^2}{2} \\ &= \frac{4s^2 - 2s^2}{2} \\ &= s^2 \\ \int_{-s}^{s} (s - \lvert y \lvert) \, \mathrm{d} y = \int_{-s}^{s} (s - \lvert x \lvert) \, \mathrm{d} x = A\\ \end{align*}\]

Nå har vi i andre ord bevist arealet av et kvadrat ved bruk av den antideriverte!

Tydelig nok var det fra før av!