Integrasjon er en summering av små endringer ved hensyn til et forhold; kollektivet, altså summen kan således beskrive areal, dersom det er snakk om noe geometrisk, men den kan også beskrive den kinetisk energien til et fallende legeme.

Det er derfor ikke riktig å bare begrense ideen om integrasjon som “areal”.

I dette innlegget, så kommer vi til å se på et eksempel til noe de fleste vil kalle for “naturlig” eller “instinktivt”, men er uansett en interessant resonnement for noe vi kan kalle for “elementært” eller “barneskolematte”.

For en sirkel med origo som sentrum, dvs:

\[x^2 + y^2 = r^2\]

Ved lignende måte så kan ligningen til et kvadrat skrives slik:

\[\lvert x \lvert + \lvert y \lvert = s\]

Vi løser for $\lvert x \lvert$ og $\lvert y \lvert$

\[\begin{align} \lvert x \lvert &= s - \lvert y \lvert \\ \lvert y \lvert &= s - \lvert x \lvert \end{align}\]

Integralet av (1) og (2) ved hensyn til dets variabel er:

\[\begin{align} \int_{-s}^{s} (s - \lvert y \lvert) \, \mathrm{d} y \\ \int_{-s}^{s} (s - \lvert x \lvert) \, \mathrm{d} x \\ \end{align}\]

Husk at:

\[\begin{align} \int [f(x) + g(x)] \, \mathrm{d}x &= \int f(x) \, \mathrm{d}x + \int g(x) \, \mathrm{d}x \\ \int k \, \mathrm{d}x &= kx + C \\ \int \lvert x \lvert \, \mathrm{d}x &= \frac{x \lvert x \lvert}{2} \end{align}\]

Regner ut integralet av (1) og (2) ved hensyn til dets variabel, slik at:

\[\begin{align*} \int_{-s}^{s} (s - \lvert y \lvert) \, \mathrm{d} y \\ \text{(5)} \\ &= \int_{-s}^{s} s \, \mathrm{d} y - \int_{-s}^{s} \lvert y \lvert \, \mathrm{d} y \\ \text{(6) og (7)} \\ &= \left[sy - \frac{y \lvert y \lvert}{2} \right]_{-s}^{s} \\ &= \left[\left(\frac{2s(s) - s \lvert s \lvert}{2}\right) - \left(\frac{2s(-s) -(-s) \lvert s \lvert}{2}\right)\right] \\ &= \frac{2s^2 - s^2}{2} + \frac{2s^2 - s^2}{2} \\ &= \frac{4s^2 - 2s^2}{2} \\ &= s^2 \\ \int_{-s}^{s} (s - \lvert x \lvert) \, \mathrm{d} x \\ \text{(5)} \\ &= \int_{-s}^{s} s \, \mathrm{d} x - \int_{-s}^{s} \lvert x \lvert \, \mathrm{d} x \\ \text{(6) og (7)} \\ &= \left[sx - \frac{x \lvert x \lvert}{2} \right]_{-s}^{s} \\ &= \left[\left(\frac{2s(s) - s \lvert s \lvert}{2}\right) - \left(\frac{2s(-s) -(-s) \lvert s \lvert}{2}\right)\right] \\ &= \frac{2s^2 - s^2}{2} + \frac{2s^2 - s^2}{2} \\ &= \frac{4s^2 - 2s^2}{2} \\ &= s^2 \\ \int_{-s}^{s} (s - \lvert y \lvert) \, \mathrm{d} y = \int_{-s}^{s} (s - \lvert x \lvert) \, \mathrm{d} x = A\\ \end{align*}\]

Nå har vi i andre ord bevist arealet av et kvadrat ved bruk av den antideriverte!

Tydelig nok var det fra før av!