La oss se på noen rekker.

Den aritmetiske rekken på eksplisitt form er,

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

For \(n + 1\),

\[a_{n + 1} = a_1 + (n + 1 - 1)d = a_1 + nd\]

Fra den aritmetiske rekken så har vi,

\[a_n = a_1 + nd - d = a_{n + 1} + d\]

Vi får,

\[a_{n + 1} = a_n + d \, \blacksquare\]

Som var det vi skulle bevise!

Det gjelder også for en geometrisk rekke; den geometriske rekken på eksplisitt form er,

\[a_n = a_1k^{n-1}\]

For \(n + 1\),

\[a_{n + 1} = a_1k^{n}\]

Fra den geometriske rekken, så har vi,

\[a_n = a_1k^{n-1} = a_1k^nk^{-1}\] \[a_n = \frac{a_{n+1}}{k}\] \[a_{n+1} = a_nk \, \blacksquare\]

Og en harmonisk rekke!

\[\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\] \[a_n = \frac{1}{n}\] \[a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}\] \[a_nn = 1\] \[a_{n + 1} = \frac{a_nn}{n + 1} \, \blacksquare\]